这学期(大三上)的课程。
第六章 代数
代数结构
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代数系统:一个非空集合 $A$,连同若干个定义在该集合上的运算 $f_1,f_2,\dots,f_n$,所组成的系统称为一个代数系统,简称代数,记为 $<A,f_1,f_2,\dots,f_n>$ 。
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代数系统的组成:
- 载体(一个非空集合 $A$)
- 定义在载体上的运算( $f_1,f_2,\dots,f_n$ )
- 代数常元:运算相关的特殊元素
例:一个有限集合 $S$,由 $S$ 的幂集 $\rho(S)$,及定义在 $\rho(S)$ 上的交、并、补运算组成一个代数系统 $<\rho(S),\bigcup,\bigcap,\bar\ >$ 。
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代数运算:设 $A,B$ 是非空集合,$f$ 是 $A^n$ 到 $B$ 的一个映射,则称 $f$ 为从集合 $A^n$ 到 $B$ 的一个 $n$ 元代数运算,简称运算,$n$ 为代数运算的阶。
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运算的封闭性:设 $f$ 是 $A^n$ 到 $B$ 的一个 $n$ 元运算,若 $B\subseteq A$,则称该 $n$ 元运算在集合 $A$ 上是封闭的。
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代数运算的性质:
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交换律:设 $*$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算,如果对于任意 $x,y\in A$,都有 $x*y=y*x$,则称该二元运算是可交换的。
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结合律:设 $*$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算,如果对于任意 $x,y,z\in A$,都有 $x*(y*z)=(x*y)*z$,则称该二元运算是可结合的。
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分配律:设 $*$ 和 $\circ$ 是定义在集合 $A$ 上的二元运算,如果对任意的 $x,y,z\in A$,都有
$$
\begin{align}
x*(y\circ z)=(x*y)\circ(x*z) \ \ \ \ *对\circ左可分配 \\
(y\circ z)*x=(y*x)\circ(z*x) \ \ \ \ *对\circ右可分配
\end{align}
$$
则称 $*$ 对 $\circ$ 是可分配的。 -
吸收律:设 $*$ 和 $\circ$ 是定义在集合 $A$ 上的二元运算,如果对于任意的 $x,y\in A$ ,都有
$$
\begin{align}
x*(x\circ y)=x \ \ \ \ *对\circ左可吸收 \\
(x\circ y)*x=x \ \ \ \ *对\circ右可吸收
\end{align}
$$
则称运算 $*$ 对 $\circ$ 满足吸收律。 -
等幂律:设 $*$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算,如果对于任意 $x\in A$,都有 $x*x=x$,则称运算 $*$ 满足等幂律。
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消去律:设 $*$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算,元素 $a\in A$,如果对于任意 $x,y\in A$,都有
$$
\begin{align}
a*x=a*y\Longrightarrow x=y\ \ \ \ a是左可消去的 \\
x*a=y*a\Longrightarrow x=y\ \ \ \ a是右可消去的
\end{align}
$$
则称 $a$ 是关于运算 $*$ 是可消去的。若 $A$ 中所有元素都是可消去的,则称运算 $*$ 满足消去律。
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代数常元:代数系统中 ,针对某一代数运算表现出具有某些特殊性质的元素称为代数常元,常见的有:幺元、零元、逆元、等幂元等。
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幺元
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左幺元:设 $*$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算,若存在元素 $e_l$,对于 $A$ 中的每一个元素 $x$,都有
$$
e_l*x=x
$$
则称 $e_l$ 为 $A$ 中关于运算 $*$ 的左幺元。 -
右幺元:设 $*$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算,若存在元素 $e_r$,对于 $A$ 中的每一个元素 $x$,都有
$$
x*e_r=x
$$
则称 $e_r$ 为 $A$ 中关于运算 $*$ 的右幺元。 -
幺元:设 $*$ 是定义在集合 $A$ 上一个二元运算,若 $A$ 中有一个幺元 $e$,它既是左幺元,又是右幺元,则称 $e$ 为 $A$ 中关于运算 $*$ 的幺元,亦称作单位元。
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定理:设 $*$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算,且在 $A$ 中有关于运算 $*$ 的左幺元 $e_l$ 和右幺元 $e_r$,则 $e_l=e_r=e$,且 $A$ 中的幺元是唯一的。
- 证明:由左右幺元性质,有
$$
e_l=e_l*e_r=e_r=e
$$
于是 $e_l=e_r=e$ 得证。
下面证明 $A$ 中的幺元唯一。
假设 $A$ 中幺元不唯一,即有另一幺元 $e’$,$e’\not=e$,则有
$$
e’=e’*e=e
$$
这与假设不符,所以假设不成立。则 $A$ 中幺元唯一。
- 证明:由左右幺元性质,有
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零元
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左零元:设 $*$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算,如果有一个元素 $\theta_l\in A$,对于任意的元素 $x\in A$ 都有 $\theta_l*x=\theta_l$,则称 $\theta_l$ 为 $A$ 中关于运算 $*$ 的左零元。
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右零元:设 $*$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算,如果有一个元素 $\theta_r\in A$,对于任意的元素 $x\in A$ 都有 $\theta_r*x=\theta_r$,则称 $\theta_r$ 为 $A$ 中关于运算 $*$ 的右零元。
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零元:如果 $A$ 中的一个元素 $\theta$,它既是左零元,又是右零元,则称 $\theta$ 为 $A$ 中关于运算 $*$ 的零元。
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定理:设 $*$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算,且在 $A$ 中有关于运算 $*$ 的左零元 $\theta_l$ 和右零元 $\theta_r$,则 $\theta_l=\theta_r=\theta$,且 $A$ 中的零元是唯一的。
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逆元
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定义:设 $<A,*>$ 是一个代数系统,$*$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算,$e$ 是 $A$ 中关于运算 $*$ 的幺元。$x,y\in A$,如果 $x*y=e$,那么关于运算 $*$,$x$ 是 $y$ 的左逆元,$y$ 是 $x$ 的右逆元。如果 $x*y=y*x=e$,那么关于运算 $*$,$x$ 与 $y$ 互为逆元。运算 $x$ 的逆元记为 $x^{-1}$ 。
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定理:定义:设 $<A,*>$ 是一个代数系统,$*$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算,$e$ 是 $A$ 中关于运算 $*$ 的幺元。若运算 $*$ 是可结合的,元素 $x$ 有左逆元 $l$ 和右逆元 $r$,则 $l=r$,且逆元唯一。
- 证明:由幺元与左右逆元性质,则有
$$
l*x=x*r=e
$$
而 $*$ 运算是可结合的,所以
$$
l=l*e=l*(x*r)=(l*x)*r=e*r=r
$$
假设逆元不唯一,元素 $x$ 有两个逆元 $b$ 和 $c$,$b\not=c$,则有
$$
b=b*e=b*(x*c)=(b*x)*c=e*c=c
$$
这与假设不符,所以假设不成立。
因此 $x$ 的逆元是唯一的。
- 证明:由幺元与左右逆元性质,则有
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子代数
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子代数:设 $<A,*,\Delta,k>$ 是一个代数系统, $*$ 和 $\Delta$ 分别是载体 $A$ 上的二元运算和一元运算,$k$ 是代数常元,如果满足
(1)$A’\subseteq A$,
(2)$*$ 和 $\Delta$ 运算在 $A’$ 上封闭,
(3)$k\in A’$,
那么称 $<A’,*,\Delta,k>$ 是 $<A,*,\Delta,k>$ 的子代数。
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平凡子代数:设 $<A,*,\Delta>$ 是一代数系统,$T$ 是由 $A$ 中的代数常元构成的集合,且运算 $*$ 和 $\Delta$ 在 $T$ 上封闭。称 $<A,*,\Delta>$ 和 $<T,*,\Delta>$ 是 $<A,*,\Delta>$ 的平凡子代数,非平凡子代数亦称为真子代数。
同态
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同态:设 $A=<S,*,\Delta,k>$ 和 $A’=<S’,*’,\Delta’,k’>$ 是两个具有相同构成的代数系统,$f$ 是 $S$ 到 $S’$ 的一个映射,且对任意 $a,b\in S$ 满足:
$$
\begin{align}
f(a*b)&=f(a)*’f(b) \\
f(\Delta a)&=\Delta’f(a) \\
f(k)&=k’
\end{align}
$$
则称 $f$ 为 $A$ 到 $A’$ 的一个同态映射,简称同态。$A$ 同态于 $A’$,记作 $A\sim A’$。 -
同态象:设 $f$ 是从 $A=<S,*,\Delta,k>$ 到 $A’=<S’,*’,\Delta’,k’>$ 的一个同态映射,称 $<f(S),*’,\Delta’,k’>$ 为 $A$ 在映射 $f$ 下的同态象。其中
$$
f(S)=\{x|x=f(a),a\in S\}\subseteq S’
$$ -
同态的分类:
设 $f$ 是由 $A=<S,*,\Delta,k>$ 到 $A’=<S’,*’,\Delta’,k’>$ 的一个同态。
- 满同态:若 $f$ 是满射的,则称 $f$ 为由 $A$ 到 $A’$ 的一个满同态。$A’$ 就是 $A$ 在满同态 $f$ 下一个同态象。
- 单一同态:若 $f$ 是单射的,则称 $f$ 为由 $A$ 到 $A’$ 的一个单一同态。显然,$A$ 在单一同态 $f$ 下的同态象 $<f(S),*’,\Delta’,k’>$ 与 $A$ 同构。
- 同构:若 $f$ 是双射的,则称 $f$ 为由 $A$ 到 $A’$ 的一个同构映射,简称同构。$A$ 同构于 $A’$,记作 $A\cong A’$ 。
- 自同态:若 $A’=A$,则称 $f$ 为 $A$ 上的自同态。
- 自同构:若 $A’=A$ 且 $f$ 是双射的,则称 $f$ 为 $A$ 上的自同构。