这学期（大三上）的课程。

第六章 代数

代数结构

• 代数系统：一个非空集合 $A$，连同若干个定义在该集合上的运算 $f_1,f_2,\dots,f_n$，所组成的系统称为一个代数系统，简称代数，记为 $$ 。

• 代数系统的组成：

  • 载体（一个非空集合 $A$）
  • 定义在载体上的运算（ $f_1,f_2,\dots,f_n$ ）
  • 代数常元：运算相关的特殊元素

  例：一个有限集合 $S$，由 $S$ 的幂集 $\rho(S)$，及定义在 $\rho(S)$ 上的交、并、补运算组成一个代数系统 $<\rho(S),\bigcup,\bigcap,\bar\ >$ 。

• 代数运算：设 $A,B$ 是非空集合，$f$ 是 $A^n$ 到 $B$ 的一个映射，则称 $f$ 为从集合 $A^n$ 到 $B$ 的一个 $n$ 元代数运算，简称运算，$n$ 为代数运算的阶。

• 运算的封闭性：设 $f$ 是 $A^n$ 到 $B$ 的一个 $n$ 元运算，若 $B\subseteq A$，则称该 $n$ 元运算在集合 $A$ 上是封闭的。

• 代数运算的性质：

  • 交换律：设 $*$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算，如果对于任意 $x,y\in A$，都有 $x*y=y*x$，则称该二元运算是可交换的。

  • 结合律：设 $*$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算，如果对于任意 $x,y,z\in A$，都有 $x*(y*z)=(x*y)*z$，则称该二元运算是可结合的。

  • 分配律：设 $*$ 和 $\circ$ 是定义在集合 $A$ 上的二元运算，如果对任意的 $x,y,z\in A$，都有

    $$
    x*(y\circ z)=(x*y)\circ(x*z) \ \ \ \ *对\circ左可分配\\
    (y\circ z)*x=(y*x)\circ(z*x) \ \ \ \ *对\circ右可分配
    $$

    则称 $*$ 对 $\circ$ 是可分配的。

  • 吸收律：设 $*$ 和 $\circ$ 是定义在集合 $A$ 上的二元运算，如果对于任意的 $x,y\in A$ ，都有

    $$
    x*(x\circ y)=x \ \ \ \ *对\circ左可吸收\\
    (x\circ y)*x=x \ \ \ \ *对\circ右可吸收
    $$

    则称运算 $*$ 对 $\circ$ 满足吸收律。

  • 等幂律：设 $*$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算，如果对于任意 $x\in A$，都有 $x*x=x$，则称运算 $*$ 满足等幂律。

  • 消去律：设 $*$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算，元素 $a\in A$，如果对于任意 $x,y\in A$，都有

    $$
    a*x=a*y\Longrightarrow x=y\ \ \ \ a是左可消去的\\
    x*a=y*a\Longrightarrow x=y\ \ \ \ a是右可消去的
    $$

    则称 $a$ 是关于运算 $*$ 是可消去的。若 $A$ 中所有元素都是可消去的，则称运算 $*$ 满足消去律。

• 代数常元：代数系统中 ，针对某一代数运算表现出具有某些特殊性质的元素称为代数常元，常见的有：幺元、零元、逆元、等幂元等。

  • 幺元

    • 左幺元：设 $*$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算，若存在元素 $e_l$，对于 $A$ 中的每一个元素 $x$，都有

      $$
      e_l*x=x
      $$

      则称 $e_l$ 为 $A$ 中关于运算 $*$ 的左幺元。

    • 右幺元：设 $*$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算，若存在元素 $e_r$，对于 $A$ 中的每一个元素 $x$，都有

      $$
      x*e_r=x
      $$

      则称 $e_r$ 为 $A$ 中关于运算 $*$ 的右幺元。

    • 幺元：设 $*$ 是定义在集合 $A$ 上一个二元运算，若 $A$ 中有一个幺元 $e$，它既是左幺元，又是右幺元，则称 $e$ 为 $A$ 中关于运算 $*$ 的幺元，亦称作单位元。

    • 定理：设 $*$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算，且在 $A$ 中有关于运算 $*$ 的左幺元 $e_l$ 和右幺元 $e_r$，则 $e_l=e_r=e$，且 $A$ 中的幺元是唯一的。

      • 证明：由左右幺元性质，有

        $$
        e_l=e_l*e_r=e_r=e
        $$

        于是 $e_l=e_r=e$ 得证。

        下面证明 $A$ 中的幺元唯一。

        假设 $A$ 中幺元不唯一，即有另一幺元 $e’$，$e’\not=e$，则有

        $$
        e'=e'*e=e
        $$

        这与假设不符，所以假设不成立。

        则 $A$ 中幺元唯一。

  • 零元

    • 左零元：设 $*$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算，如果有一个元素 $\theta_l\in A$，对于任意的元素 $x\in A$ 都有 $\theta_l*x=\theta_l$，则称 $\theta_l$ 为 $A$ 中关于运算 $*$ 的左零元。
    • 右零元：设 $*$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算，如果有一个元素 $\theta_r\in A$，对于任意的元素 $x\in A$ 都有 $\theta_r*x=\theta_r$，则称 $\theta_r$ 为 $A$ 中关于运算 $*$ 的右零元。
    • 零元：如果 $A$ 中的一个元素 $\theta$，它既是左零元，又是右零元，则称 $\theta$ 为 $A$ 中关于运算 $*$ 的零元。
    • 定理：设 $*$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算，且在 $A$ 中有关于运算 $*$ 的左零元 $\theta_l$ 和右零元 $\theta_r$，则 $\theta_l=\theta_r=\theta$，且 $A$ 中的零元是唯一的。

  • 逆元

    • 定义：设 $$ 是一个代数系统，$*$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算，$e$ 是 $A$ 中关于运算 $*$ 的幺元。$x,y\in A$，如果 $x*y=e$，那么关于运算 $*$，$x$ 是 $y$ 的左逆元，$y$ 是 $x$ 的右逆元。如果 $x*y=y*x=e$，那么关于运算 $*$，$x$ 与 $y$ 互为逆元。运算 $x$ 的逆元记为 $x^{-1}$ 。

    • 定理：定义：设 $$ 是一个代数系统，$*$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算，$e$ 是 $A$ 中关于运算 $*$ 的幺元。若运算 $*$ 是可结合的，元素 $x$ 有左逆元 $l$ 和右逆元 $r$，则 $l=r$，且逆元唯一。

      • 证明：由幺元与左右逆元性质，则有

        $$
        l*x=x*r=e
        $$

        而 $*$ 运算是可结合的，所以

        $$
        l=l*e=l*(x*r)=(l*x)*r=e*r=r
        $$

        假设逆元不唯一，元素 $x$ 有两个逆元 $b$ 和 $c$，$b\not=c$，则有

        $$
        b=b*e=b*(x*c)=(b*x)*c=e*c=c
        $$

        这与假设不符，所以假设不成立。

        因此 $x$ 的逆元是唯一的。

子代数

• 子代数：设 $$ 是一个代数系统， $*$ 和 $\Delta$ 分别是载体 $A$ 上的二元运算和一元运算，$k$ 是代数常元，如果满足

  （1）$A’\subseteq A$，

  （2）$*$ 和 $\Delta$ 运算在 $A’$ 上封闭，

  （3）$k\in A’$，

  那么称 $$ 是 $$ 的子代数。

• 平凡子代数：设 $$ 是一代数系统，$T$ 是由 $A$ 中的代数常元构成的集合，且运算 $*$ 和 $\Delta$ 在 $T$ 上封闭。称 $$ 和 $$ 是 $$ 的平凡子代数，非平凡子代数亦称为真子代数。

同态

• 同态：设 $A=$ 和 $A’=$ 是两个具有相同构成的代数系统，$f$ 是 $S$ 到 $S’$ 的一个映射，且对任意 $a,b\in S$ 满足：

  $$
  \begin{align}
  f(a*b)&=f(a)*'f(b) \\\\
  f(\Delta a)&=\Delta'f(a) \\\\
  f(k)&=k'
  \end{align}
  $$

  则称 $f$ 为 $A$ 到 $A’$ 的一个同态映射，简称同态。$A$ 同态于 $A’$，记作 $A\sim A’$。

• 同态象：设 $f$ 是从 $A=$ 到 $A’=$ 的一个同态映射，称 $$ 为 $A$ 在映射 $f$ 下的同态象。其中

  $$
  f(S)=\{x|x=f(a),a\in S\}\subseteq S'
  $$

• 同态的分类：

  设 $f$ 是由 $A=$ 到 $A’=$ 的一个同态。

  • 满同态：若 $f$ 是满射的，则称 $f$ 为由 $A$ 到 $A’$ 的一个满同态。$A’$ 就是 $A$ 在满同态 $f$ 下一个同态象。
  • 单一同态：若 $f$ 是单射的，则称 $f$ 为由 $A$ 到 $A’$ 的一个单一同态。显然，$A$ 在单一同态 $f$ 下的同态象 $$ 与 $A$ 同构。
  • 同构：若 $f$ 是双射的，则称 $f$ 为由 $A$ 到 $A’$ 的一个同构映射，简称同构。$A$ 同构于 $A’$，记作 $A\cong A’$ 。
  • 自同态：若 $A’=A$，则称 $f$ 为 $A$ 上的自同态。
  • 自同构：若 $A’=A$ 且 $f$ 是双射的，则称 $f$ 为 $A$ 上的自同构。

• 同态的性质

  • 定理：设 $f$ 是从 $A=$ 到 $A’=$ 的一个同态映射，那么 $A$ 的同态象 $$ 是 $A’$ 的子代数。

  • 定理：设 $f$ 是 $A=$ 到 $A’=$ 的一个同态映射，$A”=$ 是 $A$ 在同态映射 $f$ 下的同态象，则有

    （1）若 $*$ 在 $A$ 中可交换，则 $*’$ 在 $A”$ 中也是可交换的；

    （2）若 $*$ 在 $A$ 中可结合，则 $*’$ 在 $A”$ 中也是可结合的；

    （3）若在 $A$ 中 $*$ 对 $\circ$ 可分配，则在 $A”$ 中 $*’$ 对 $\circ’$ 也可分配；

    （4）若 $e$ 是 $A$ 中关于运算 $*$ 的幺元，则 $f(e)$ 是 $A”$ 中关于运算 $*’$ 的幺元；

    （5）若 $\theta$ 是 $A$ 中关于运算 $*$ 的零元，则 $f(\theta)$ 是 $A”$ 中关于运算 $*’$ 的零元；

    （6）任取 $x\in S$，$x$ 对运算 $*$ 有逆元 $x^{-1}$ ，在 $f(S)$ 中，$f(x)$ 也有关于运算 $*’$ 的逆元 $f(x^{-1})$ 。

同余关系

• 同余的定义：

  • 运算上的同余关系：设 $A = $ 是一个代数系统， $\sim$ 是载体 $S$ 上的等价关系，任取 $a,b,c\in S$ 。

    （1） 当 $a\sim b$ 时，若 $\Delta a\sim \Delta b$ ，则等价关系 $\sim$ 在一元运算 $\Delta$ 下是可保持的，称 $\sim$ 是关于运算 $\Delta$ 同余关系。

    （2） 当 $a\sim b$ 和 $c\sim d$ 时，若有 $a*c \sim b*d$ ，则等价关系 $\sim$ 在二元运算 $*$ 下是可保持的，称 $\sim$ 是关于运算 $*$ 同余关系。

  • 代数系统上的同余关系：设 $A=$ 是一个代数系统，$\sim$ 是载体 $S$ 上的等价关系，若 $\sim$ 在 $A$ 上的所有运算下都是可保持的，则称 $\sim$ 为代数系统 $A$ 上的同余关系。

• 定理：设 $g$ 是从代数系统 $A=$ 到 $A’=$ 的一个同态映射，如果在 $A$ 上定义等价关系 $R$ 为：$\in R$ 当且仅当

  $$
  g(a)=g(b)
  $$

  那么，$R$ 是 $A$ 上的一个同余关系。

商代数

• 商代数定义：设 $A=$ 是一个代数系统，$\sim$ 是 $A$ 上的同余关系，$A$ 关于 $\sim$ 的商代数 $A/\sim = $ 。其中

  $$
  \Delta'[a]=[\Delta a ], [a]*'[b]=[a*b]
  $$

  $S/\sim$ 是集合的集合，即等价类的集合。

  $*’,\Delta’$ 是集合之间的运算。

  $[k]$ 是代数常元的集合。